אברהם עצור נולד בתל-אביב ביום 17 באוקטובר 1930.
בהיותו כבן 10 הצטרף לקן בית"ר שבמצודת-זאב בתל-אביב, וביותו בן 15 עבר שם קורס מפקדים של בית"ר בהדרכת יונה פרגר (ז"ל), ואחר כך קיבל קבוצה להדרכה.
בשנת 1946 הצטרף לאצ"ל בתל-אביב.
בחצר ביתו שבשכונת הים בתל-אביב היה בית כנסת ושם היה "סליק" של האצ"ל. אברהם השגיח עליו, ובדק ותיקן, על-פי הצורך, את הנשק שבו.
בשנת 1947 עבר אברהם קורס סגנים, ואחר כך מונה כמפקד יחידת נוער. הוא הדריך את חברי הקבוצה בשימוש בנשק ובתרגילי סדר, וחינך אותם ברוח ציונית-לאומית.
עם פרוץ ההתקוממות הערבית בעקבות החלטת האו"ם על הקמת מדינה יהודית בחלק מארץ-ישראל, אייש את עמדות האצ"ל בשכונת התקוה, וכן השתתף בכיבוש יפו ויהודיה ובקרבות ברמלה.
אחר כך גוייס לצה"ל ושימש מדריך בדרגת סמל בבסיס קליטה של חיל האוויר, אך לאחר פרשת "אלטלנה" הועבר לבסיס הקליטה והמיון הכללי של צה"ל בתל-השומר. יום אחד הגיע לבסיס הזה יצחק שדה. הוא חיפש חיילים היודעים מכונאות או מסגרות כדי להקים סדנא עבור חטיבה 8 של השריון, ובין החיילים שגייס לצורך זה היה אברהם. אברהם עבר למוסך תל-השומר, ובמשך השנים התמחה בטכנולוגיה של ההידראוליקה ובנה את בית המלאכה הגדול בצה"ל בנושא ההידראוליקה. תחת פיקודו היו כ-50 עובדים. תוך כדי עבודתו נפצע ונקבעה לו נכות תמידית בשיעור של 20%, ולפיכך בחר להמשיך את שירותו כאזרח עובד צה"ל. במשך 45 שנות שירותו, עד ליציאתו לגימלאות, היה שותף בפיתוח טנק המרכבה ובשיפור ושדרוג סוגי טנקים רבים אחרים, תוך כדי השתלמויות מתמידות בארץ וכן בצרפת, באנגליה ובארצות הברית.
אברהם נשוי לדבורה לבית פנחס ולהם ילד אחד ושלושה נכדים.
בני הזוג גרים בחולון.